according to sine rule,
\[a\text{ }=\text{ }k\text{ }sin\text{ }A,\]
\[~b\text{ }=\text{ }k\text{ }sin\text{ }B,\]
\[c\text{ }=\text{ }k\text{ }sin\text{ }C\]
Let LHS:
\[a\text{ }\left( sin\text{ }B\text{ }\text{ }sin\text{ }C \right)\text{ }+\text{ }b\text{ }\left( sin\text{ }C\text{ }\text{ }sin\text{ }A \right)\text{ }+\text{ }c\text{ }\left( sin\text{ }A\text{ }\text{ }sin\text{ }B \right)\]
Substituting the values of a, b, c we have,
\[a\text{ }\left( sin\text{ }B\text{ }\text{ }sin\text{ }C \right)\text{ }+\text{ }b\text{ }\left( sin\text{ }C\text{ }\text{ }sin\text{ }A \right)\text{ }+\text{ }c\text{ }\left( sin\text{ }A\text{ }\text{ }sin\text{ }B \right)\]
\[=\text{ }k\text{ }sin\text{ }A\text{ }\left( sin\text{ }B\text{ }\text{ }sin\text{ }C \right)\text{ }+\text{ }k\text{ }sin\text{ }B\text{ }\left( sin\text{ }C\text{ }\text{ }sin\text{ }A \right)\text{ }+\text{ }k\text{ }sin\text{ }C\text{ }\left( sin\text{ }A\text{ }\text{ }sin\text{ }B \right)\]
\[=\text{ }k\text{ }sin\text{ }A\text{ }sin\text{ }B\text{ }\text{ }k\text{ }sin\text{ }A\text{ }sin\text{ }C\text{ }+\text{ }k\text{ }sin\text{ }B\text{ }sin\text{ }C\text{ }\text{ }k\text{ }sin\text{ }B\text{ }sin\text{ }A\text{ }+\text{ }k\text{ }sin\text{ }C\text{ }sin\text{ }A\text{ }\text{ }k\text{ }sin\text{ }C\text{ }sin\text{ }B\]
on simplification, we have
\[=\text{ }0\]
= RHS
Hence proved.