(ii)

Solution:

(i)

\[co{{s}^{2}}A+co{{s}^{2}}B – 2cosAcosBcos\left(A+B \right)=si{{n}^{2}}\left(A+B\right)\]

Let us consider LHS:

\[co{{s}^{2}}A\text{ }+\text{ }co{{s}^{2}}B\text{}-\text{}2\text{}cos\text{}A\text{}cos\text{}B\text{}cos\text{}\left(A\text{}+B\right)\]

\[co{{s}^{2}}A\text{}+\text{}1\text{}-\text{}si{{n}^{2}}B\text{}-\text{}2\text{}cos\text{}A\text{}cos\text{}B\text{}cos\text{}\left(A\text{}+B \right)\]

\[1\text{}+co{{s}^{2}}A\text{}\text{}si{{n}^{2}}B\text{}-\text{}2\text}cos\text{}A\text{}cos\text{}B\text{}cos\text{}\left(A\text{}+B\right)\]

Since, \[co{{s}^{2}}A\text{ }-\text{ }si{{n}^{2}}B\text{}=-\text{}cos\text{}\left(A\text{}+B\right)\text{}cos\text{ }\left( A\text{ }B \right)\]

Therefore,

\[1+~cos\left( A+B \right)cos\left( A-B \right)-2cosAcosBcos\left( A+B \right)\]

\[1\text{ }+\text{ }cos\text{ }\left( A\text{ }+B \right)\text{ }\left[ cos\text{ }\left( A\text{ }-B \right)\text{ }-\text{ }2\text{ }cos\text{ }A\text{ }cos\text{ }B \right]\]

Since, \[cos\text{ }\left( A\text{ }-\text{ }B \right)\text{ }=\text{ }cos\text{ }A\text{ }cos\text{ }B\text{ }+\text{ }sin\text{ }A\text{ }sin\text{ }B.\]

Therefore,

\[1+cos\left( A+B \right)\text{ }\left[ cosA\text{ }cosB+sinA\text{ }sinB\text{ }2\text{ }cosAcosB \right]\]

\[1\text{ }+\text{ }cos\text{ }\left( A\text{ }+B \right)\text{ }\left[ -cos\text{ }A\text{ }cos\text{ }B\text{ }+\text{ }sin\text{ }A\text{ }sin\text{ }B \right]\]

\[1\text{}+co{{s}^{2}}A\text{}-\text{}si{{n}^{2}}B\text{}-\text{}2\text{}cos\text{}A\text{}cos\text{}B\text{}cos\text{}\left(A\text{}+B\right)\]

Since, \[cos\text{ }\left( A\text{ }+B \right)\text{ }=-\text{}cos\text{}A\text{}cos\text{}B\text{}-\text{}sin\text{}A\text{}sin\text{}B.\]

Therefore,

\[1\text{ }-\text{ }co{{s}^{2}}\left( A\text{ }+\text{ }B \right)\]

\[si{{n}^{2}}\left( A\text{ }+\text{ }B \right)\]

\[=\text{ }RHS\]

\[\therefore LHS\text{ }=\text{ }RHS\]

Hence proved.

(ii)

\[\therefore LHS\text{ }=\text{ }RHS\]

Hence proved.