Solution:

(i) Given R = {(x, y): x and y work at the same place}

Now we have to check whether the relation is reflexive:

Let x be an arbitrary element of R.

Then, x ∈R

⇒ x and x work at the same place is true since they are the same.

⇒(x, x) ∈R [condition for reflexive relation]

So, R is a reflexive relation.

Now let us check Symmetric relation:

Let (x, y) ∈R

⇒x and y work at the same place [given]

⇒y and x work at the same place

⇒(y, x) ∈R

So, R is a symmetric relation.

Transitive relation:

Let (x, y) ∈R and (y, z) ∈R.

Then, x and y work at the same place. [Given]

y and z also work at the same place. [(y, z) ∈R]

⇒ x, y and z all work at the same place.

⇒x and z work at the same place.

⇒ (x, z) ∈R

So, R is a transitive relation.

Hence R is reflexive, symmetric and transitive.

(ii) Given R = {(x, y): x and y live in the same locality}

Now we have to check whether the relation R is reflexive, symmetric and transitive.

Let x be an arbitrary element of R.

Then, x ∈R

It is given that x and x live in the same locality is true since they are the same.

So, R is a reflexive relation.

Symmetry:

Let (x, y) ∈ R

⇒ x and y live in the same locality [given]

⇒ y and x live in the same locality

⇒ (y, x) ∈ R

So, R is a symmetric relation.

Transitivity:

Let (x, y) ∈R and (y, z) ∈R.

Then,

x and y live in the same locality and y and z live in the same locality

⇒ x, y and z all live in the same locality

⇒ x and z live in the same locality

⇒ (x, z) ∈ R

So, R is a transitive relation.

Hence R is reflexive, symmetric and transitive.