according to sine rule,

\[a\text{ }=\text{ }k\text{ }sin\text{ }A,\]

\[~b\text{ }=\text{ }k\text{ }sin\text{ }B,\]

\[c\text{ }=\text{ }k\text{ }sin\text{ }C\]

Let LHS:

\[a\text{ }\left( sin\text{ }B\text{ }\text{ }sin\text{ }C \right)\text{ }+\text{ }b\text{ }\left( sin\text{ }C\text{ }\text{ }sin\text{ }A \right)\text{ }+\text{ }c\text{ }\left( sin\text{ }A\text{ }\text{ }sin\text{ }B \right)\]

Substituting the values of a, b, c we have,

\[a\text{ }\left( sin\text{ }B\text{ }\text{ }sin\text{ }C \right)\text{ }+\text{ }b\text{ }\left( sin\text{ }C\text{ }\text{ }sin\text{ }A \right)\text{ }+\text{ }c\text{ }\left( sin\text{ }A\text{ }\text{ }sin\text{ }B \right)\]

\[=\text{ }k\text{ }sin\text{ }A\text{ }\left( sin\text{ }B\text{ }\text{ }sin\text{ }C \right)\text{ }+\text{ }k\text{ }sin\text{ }B\text{ }\left( sin\text{ }C\text{ }\text{ }sin\text{ }A \right)\text{ }+\text{ }k\text{ }sin\text{ }C\text{ }\left( sin\text{ }A\text{ }\text{ }sin\text{ }B \right)\]

\[=\text{ }k\text{ }sin\text{ }A\text{ }sin\text{ }B\text{ }\text{ }k\text{ }sin\text{ }A\text{ }sin\text{ }C\text{ }+\text{ }k\text{ }sin\text{ }B\text{ }sin\text{ }C\text{ }\text{ }k\text{ }sin\text{ }B\text{ }sin\text{ }A\text{ }+\text{ }k\text{ }sin\text{ }C\text{ }sin\text{ }A\text{ }\text{ }k\text{ }sin\text{ }C\text{ }sin\text{ }B\]

on simplification, we have

\[=\text{ }0\]

= RHS

Hence proved.